[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Rozkład dwumianowy
Matematyczne podstawy teorii ryzyka
i ich zastosowanie
Semestr letni 2009/2010
R. Łochowski
Rozkład dwumianowy
• Niech będzie ciągiem niezależnych
zmiennych losowych o rozkładzie 0-1:
( 1) 1 0 .
i
=
= = −
(
i
=
)
• Zmienną o rozkładzie dwumianowym Bin(n,p)
definiujemy jako sumę
S X X X
n
=
1 2
+
+ +
>
n
.
• Rozkład zmiennej dany jest wzorem
S
P S k p p
=
=
Ä Ô
n
k
(
1 .
−
)
n k
−
n
Æ Ö
k
X X
1
,...,
n
P X p P X
• Zmienną o rozkładzie dwumianowym Bin(n,p)
( )
Å Õ
Momenty rozkładu dwumianowego
• Wartość oczekiwana rozkładu dwumianowego
¹ ¹
k
k
º É
Ê
k
k h
+
P P h h m m h
; ; Õ ; Õ Õ + Õ ;
h
. <
& '
Ê
& '
»
Ê
k
k
»
¼ Ë
h
h
;
-
h
;
-
• Prościej - wykorzystujemy tylko liniowość
• Prościej - wykorzystujemy tylko liniowość
wartości oczekiwanej, ,
nie korzystamy zaś z niezależności zmiennych
B B B
& '
U V U V
) ; )
U U
.
) ) 7
>
k
P U U U U km
k
; ) ) ; ) ) ;
& '
.
>
k
B B
.
>
k
+
»
Ê
»
B M
»
Ê
B B
Momenty rozkładu dwumianowego,
c.d.
• Wariancja rozkładu dwumianowego
& ' & ' & '
/
-
¹
k
A M B
/
P P h h P
; ; Õ +
k
k
k
h
;
º É
Ê
»
k
k
¹
k
»
Ê
k
m m h km
& ' & '
/
k h
; Õ Õ + Õ + ;
Ê
h
.
<
»
Ê
»
¼ Ë
h
h
;
-
• Prościej - korzystamy z niezależności
U U
.
) )
k
>
A A
& ' & '
P U U
; ) )
/
>
k
.
k
; ) ) ; +
A A
/
& ' & ' & '
U U km m
>
/
. +
.
k
º É
Ê
+
»
»
Ê
/
Rozkład dwumianowy w praktyce
• Ubezpieczyciel posiada w portfelu
ubezpieczonych od kradzieży samochodów na
terenie miasta X.
k ;
.----
• Prawdopodobieństwo kradzieży samochodu
• Prawdopodobieństwo kradzieży samochodu
na terenie X wynosi
m;
-+--.+
•
jest rozkładem liczby
skradzionych samochodów.
k
-
& '
¹
.-
º É
Ê
.----
Ê
M
& '
;
.-
Ê
-+--. -+666 <<<
h
Õ ;
.----
+
h
»
Ê
k
»
¼ Ë
h
Ê
h
;
-
P ?fk
.----)-+--.
»
»
P
»
[ Pobierz całość w formacie PDF ]